Wielomian stopnia n ma zawsze n pierwiastków. Czasem jednak są wielokrotne, a czasem są zespolone.
Tutaj nie ma problemu z wielokrotnymi rozwiązaniami, więc są trzy różne.
Jedno z tych rozwiązań można znaleźć z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. W tym celu szukam liczb postaci x=p/q, gdzie p to dzielniki wyrazy wolnego, zaś q współczynnika przy najwyższej potędze.
Na tej podstawie można pokazać, że jednym z pierwiastków jest
x_1=-1
[tex](-1)^3+\frac{1}{2}-1+\frac{3}{2}=-2+2=0[/tex]
Dalej, z twierdzenia Bezout'a
[tex](x^3+\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2}):(x+1)=x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\\underline{-x^3-x^2}\\-\frac{1}{2}x^2+x\\\underline{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}\\\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\\\underline{-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}\\=\ =[/tex]
Teraz rozwiązuję otrzymane równanie kwadratowe:
[tex]x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}=0\\\Delta=\frac{1}{4}-\frac{12}{2}=-\frac{23}{4}\\x_{2,3}=\frac{\frac{1}{2}\pm i\frac{1}{2}\sqrt{23}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{23}}{4}[/tex]
w ten sposób otrzymujemy trzy różne rozwiązania (jedno rzeczywiste i dwa zespolone)
pozdrawiam
