Odpowiedź:
Pole tego trójkąta jest równe 2880 cm².
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy oznaczenia:
[tex]a[/tex] - długość jednej przyprostokątnej
[tex]b[/tex] - długość drugiej przyprostokątnej
[tex]c[/tex] - długość przeciwprostokątnej
Z treści zadania wiemy, że:
[tex]a+b+c=360[/tex]
[tex]r=16[/tex]
A skoro trójkąt jest prostokątny, to z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
Mamy obliczyć pole trójkąta prostokątnego, a więc:
[tex]P_{\triangle}=\frac{1}{2}ab[/tex]
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, który przy naszych oznaczeniach jest następujący:
[tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex]
--------------------------------------------------
Długość przeciwprostokątnej możemy zapisać jako:
[tex]c=360-a-b[/tex]
Podstawiamy do wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny [tex]c=360-a-b[/tex] oraz [tex]r=16[/tex] i otrzymujemy, że:
[tex]\frac{a+b-(360-a-b)}{2}=16\\\\\frac{a+b-360+a+b}{2}=16\\\\\frac{2a+2b-360}{2}=16\\\\a+b-180=16\\\\a+b=196[/tex]
Ponieważ obwód trójkąta jest równy 360, to:
[tex]c=360-(a+b)=360-196=164[/tex]
Wiemy, ile wynosi suma długości przyprostokątnych, a chcemy wiedzieć, ile wynosi ich iloczyn. Po podniesieniu równania stronami do kwadratu i skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy, że:
[tex](a+b)^2=196^2\\a^2+2ab+b^2=196^2[/tex]
Skoro [tex]c=164[/tex], to z twierdzenia Pitagorasa mamy:
[tex]a^2+b^2=164^2[/tex]
I podstawiając to do wcześniejszego równania otrzymujemy:
[tex]2ab+164^2=196^2[/tex]
[tex]2ab=196^2-164^2\\\\2ab=38416-26896\\\\2ab=11520\\\\ab=5760[/tex]
[tex]P_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot 5760=2880[/tex]
