Odpowiedź:
[tex]\frac{3\pi}{2} - 5[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Z definicji [tex]\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}x) = x[/tex] dla [tex]x \in (0, \pi)[/tex]. Zatem dane wyrażenie musimy zapisać w taki sposób, aby wewnątrz funkcji arcctg znalazła się funkcja ctg dla pewnego argumentu.
Należy zauważyć, że dla x w odpowiedniej dziedzinie zachodzi:
[tex]\mathrm{arcctg}x = \mathrm{tg}(\frac{\pi}{2} - x)[/tex].
Stąd:
[tex]\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}5) = \mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2} - 5))[/tex]
Musimy dodać do argumentu taką wielokrotność [tex]\pi[/tex], aby znalazł się w przedziale [tex](0, \pi)[/tex]. Łatwo sprawdzić, że jest to po prostu [tex]\pi[/tex]. Zatem:
[tex]\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}5) = \mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2} - 5)) = \mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}(\frac{3\pi}{2} - 5)) = \frac{3\pi}{2} - 5[/tex]
