Rozwiązanie:
Zadanie 3.
[tex]$\log_{3}(3^{x}-8)+x=2[/tex]
Dziedzina:
[tex]3^{x}-8>0[/tex]
[tex]3^{x}>8\\[/tex]
[tex]x>\log_{3}8[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]$\log_{3}(3^{x}-8)=2-x[/tex]
[tex]$\frac{\log(3^{x}-8)}{\log3} =2-x[/tex]
[tex]\log(3^{x}-8)=(2-x)\log3[/tex]
[tex]\log(3^{x}-8)+(x-2)\log3=0[/tex]
[tex]\log(3^{x}-8)+\log3^{x-2}=0[/tex]
[tex]\log(3^{x-2}(3^{x}-8))=0[/tex]
[tex]3^{x-2}(3^{x}-8)=1[/tex]
[tex]3^{2x-2}-8 \cdot 3^{x-2}=1[/tex]
[tex]$9 \cdot 3^{2x-4}-8 \cdot 3^{x-2}-1=0[/tex]
Teraz podstawmy [tex]t=3^{x-2}[/tex], gdzie [tex]t>0[/tex] :
[tex]9t^{2}-8t-1=0[/tex]
[tex]\Delta=64-4 \cdot 9 \cdot (-1)=100[/tex]
[tex]$t_{1}=\frac{8+10}{18} =1 \vee t_{2}=\frac{8-10}{18}<0 \notin D[/tex]
Zatem:
[tex]3^{x-2}=1[/tex]
[tex]x-2=0[/tex]
[tex]x=2 \in D[/tex]
