[tex](ax + b) (dx + c) + (bx + a) (cx + d) = 0\\\\adx^2+acx+bdx+bc+bcx^2+bdx+acx+ad=0\\\\(ad+bc)\,x^2+2\,(ac+bd)\,x+ad+bc=0[/tex]
a, b, c, d > 0, czyli ad + bc > 0
ad + bc ≠ 0 zatem jest to równanie kwadratowe.
Ilość rozwiązań równania kwadratowego zależy od znaku jego wyróżnika (Δ).
[tex]\Delta=[2(ac+bd)]^2-4(ad+bc)(ad+bc)\\\\ \Delta=4(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)-4(a^2d^2+abcd+abcd+b^2c^2)\\\\ \Delta=4(a^2c^2+2abcd+b^2d^2-a^2d^2-2abcd-b^2c^2)\\\\ \Delta=4(a^2c^2-a^2d^2+b^2d^2-b^2c^2)\\\\ \Delta=4[a^2(c^2-d^2)+b^2(c^2-d^2)]\\\\\Delta=4(a^2-b^2)(c^2-d^2)[/tex]
4 jako liczba dodatnia nie wpływa na znak wyróżnika, czyli znak wyróżnika jest taki jak znak iloczynu (a²-b²)(c²-d²)
Wiemy, że dla dodatnich a, b c, d:
a>b ∧ c>d ⇒ a²>b² ∧ c²>d²
Wtedy: a²-b²>0 ∧ c²-d²>0 ⇒ (a²-b²)(c²-d²)>0
a<b ∧ c<d ⇒ a²<b² ∧ c²<d²
Wtedy: a²-b²<0 ∧ c²-d²<0 ⇒ (a²-b²)(c²-d²)>0
Czyli jakiekolwiek liczby spełniające podane warunki wybierzemy, wyróżnik podanego równania będzie dodatni, zatem równanie ma dwa różne rozwiązania.
Co należało wykazać.
