Odpowiedź:
Większą objętość ma ostrosłup.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Podstawa ostrosłupa/graniastosłupa to też ściana!
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a jego ściany boczne to cztery jednakowe trójkąty równoramienne.
a = 6 cm
Ppo = a² = 6² = 36 cm²
Pso = ¹/₂ah
¹/₂·6·h = 36
3·h = 36 /:3
h = 12 cm
Wysokość ostrosłupa tworzy trójkąt prostokątny z wysokością ściany bocznej i odcinkiem łączącym spodki tych wysokości. czyli z tw. Pitagorasa:
[tex]H^2_o+(\frac a2)^2=h^2\\\\H^2_o+3^2=12^2\\\\H^2_o=144-9\\\\H_o=\sqrt{135}=\sqrt{9\cdot15}\\\\H_o=3\sqrt{15}[/tex]
Czyli objętość ostrosłupa: [tex]V_o=\frac13P_{p_o}\cdot h=\frac13\cdot36\cdot12=12\cdot12=144\,cm^3[/tex]
Podstawą prawidłowego graniastosłupa trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne to jednakowe prostokąty.
Czyli:
[tex]P_{p_s}=\dfrac{a^2\sqrt3}4=\dfrac{6^2\sqrt3}4=\dfrac{36\sqrt3}4=9\sqrt3\ cm^2[/tex]
Psg = a·Hg
6·Hg = 9√3 /:6
Hg = 1,5√3
[tex]Vg=P_{p_g}\cdot H_g=9\sqrt3\cdot1,5\sqrt3=9\cdot1,5\cdot3=40{,}5\ cm^3[/tex]
144 > 40,5
Użyte oznaczenia:
a - krawędź podstawy ostrosłupa/graniastosłupa
h - wysokość ściany bocznej ostrosłupa
Ho - wysokość ostrosłupa
Ppo - pole podstawy ostrosłupa
Pso - pole ściany bocznej (jednej) ostrosłupa
Vo - objętość ostrosłupa
Hg - wysokość graniastosłupa {i jego krawędź boczna)
Ppg - pole podstawy graniastosłupa
Psg - pole ściany bocznej (jednej) graniastosłupa
Vg - objętość graniastosłupa
