👤

Dany jest prostokąt ABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek AC jest przekątną tego
prostokąta. Odcinek DS jest wysokością trójkąta ACD (patrz rysunek).
Oblicz długość odcinka DS. Zapisz obliczenia.


Dany Jest Prostokąt ABCD O Wymiarach 12 Cm I 16 Cm Odcinek AC Jest Przekątną Tego Prostokąta Odcinek DS Jest Wysokością Trójkąta ACD Patrz Rysunek Oblicz Długoś class=

Odpowiedź :

W zadaniu należy obliczyć długość odcinka DS (wysokość trójkąta ACD).

Szukana długość odcinka |DS| wynosi 9,6 cm.

Wypiszmy informacje z zadania.

Oznaczenia:

[tex]d = |AC|[/tex] - przekątna prostokąta

[tex]a, b[/tex] - boki prostokąta

[tex]h = |DS|[/tex] - wysokość trójkąta ACD

Jak można zauważyć na rysunku pole trójkąta ACD zajmuje połowę pola prostokąta ABCD, czyli:

[tex]P_{\Delta} = \frac{1}{2} P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12\ cm \cdot 16\ cm = 96\ cm^2[/tex]

1. Chcąc obliczyć długość wysokości trójkąta ACD należy najpierw obliczyć przekątną prostokąta d (która jest jednocześnie podstawą trójkąta ACD).

2. Następnie skorzystamy z wzoru na pole trójkąta i wyznaczamy z tego wzoru szukaną wysokość |DS|.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]a^2 + b^2 = c^2 \\\\[/tex]

gdzie:

a, b - długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym

c - długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

czyli:

[tex]d^2 = (12\ cm)^2 + (16\ cm)^2 \\\\d^2 = 144\ cm^2 + 256\ cm^2 \\\\d^2 = 400\ cm^2 \\\\d = \sqrt{400\ m^2} \\\\d = |AC| = 20\ cm[/tex]

Korzystamy teraz z wzoru na pole trójkąta:

[tex]P = \cfrac{a \cdot h}{2}[/tex]

Dane:

[tex]P = 96\ cm^2a = |AC| = d = 20\ cm \\\\[/tex]

Szukane:

[tex]h = |DS| = ?[/tex]

Podstawiamy do wzoru i wyliczamy długość wysokości trójkąta:

[tex]\cfrac{20\ cm \cdot h}{2} = 96\ cm^2 \\\\10\ cm \cdot h = 96\ cm^2| : 10\ cm \\\\\boxed{h = |DS| = 9,6\ cm}[/tex]

Wniosek: Szukana długość odcinka |DS| wynosi 9,6 cm.

#SPJ2