1.
[tex]x^{3}-5x^{2} = 10-2x\\\\x^{3}-5x^{2}+2x-10 = 0\\\\x^{2}(x-5) + 2(x-5) = 0\\\\(x-5)(x^{2} +2) = 0\\\\x-5 = 0\\x = 5\\\\lub\\\\x^{2}+2 = 0\\x^{2}+2 > 0 \ \ dla \ kazdego \ x\\\\\boxed{x = 5}[/tex]
2.
[tex]x^{4}-4x^{3}-5x^{2} > 0[/tex]
Rozwiązując nierówność algebraiczną (wielomianową) postępujemy bardzo podobnie, jak w przypadku rozwiązywania równań wielomianowych. Najpierw musimy obliczyć pierwiastki tego wielomianu, a następnie rozwiązanie odczytujemy z wykresu wielomianu.
[tex]x^{4}-4x^{3}-5x^{2} =0\\\\x^{2}(x^{2}-4x-5) = 0\\\\x^{2} = 0\\x_{o} = 0\\\\lub\\\\x^{2}-4x-5 = 0\\\\a = 1, \ b = -4, \ c = -5\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-5) = 16+20 = 36\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6\\\\x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4)-6}{2\cdot1} = \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\\\\x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4)+6}{2} = \frac{10}{2} = 5[/tex]
[tex]x = -1, \ x = 0, \ x = 5[/tex]
Rysujemy wykres nierówności z prawej strony od góry, ponieważ współczynnik przy największej potędze jest dodatni.
x = 0 jest pierwiastkiem parzystokrotnym (2), to wykres nie przecina osi, tylko się od niej w danym punkcie odbija.
+ +
---------------.----|--------------------.-----------> x
⁻¹ ⁰ ⁵
[tex]x\in (-\infty; -1) \ \cup \ (5; +\infty)[/tex]
