Odpowiedź:
Są dokładnie cztery takie liczby: [tex]252, \ 414, \ 666, \ 828[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zapis dowolnej liczby palindromicznej trzycyfrowej:
[tex]p=100x+10y+z[/tex]
gdzie:
[tex]x\in\mathbb{Z}:0<x\leq 9\\y\in\mathbb{Z}:0\leq y\leq 9\\z=x[/tex]
[tex]x[/tex] jest zarówno cyfrą setek jak i jedności, więc:
[tex]p=101x+y[/tex]
By jakaś liczba była podzielna przez [tex]18[/tex] musi jednocześnie być podzielna przez [tex]2[/tex] oraz przez [tex]9[/tex]
Zatem wiemy już, że liczby te są parzyste:
[tex]x\in\{2, \ 4, \ 6, \ 8\}[/tex]
Został jeszcze warunek podzielności przez [tex]9[/tex]. Suma cyfr liczby musi być podzielna przez dziewięć.
Suma cyfr:
[tex]2x+y[/tex]
nasze możliwości to:
[tex]1) \ 4+y\\2) \ 8+y\\3) \ 12+y\\4) \ 16+y[/tex]
Więc dla opcji [tex]1)[/tex]:
[tex](4+y) \ \mathrm{mod} \ 9=0[/tex]
[tex]y=5[/tex]
Dla opcji [tex]2)[/tex]:
[tex](8+y) \ \mathrm{mod} \ 9=0\\y=1[/tex]
Dla opcji [tex]3)[/tex]:
[tex](12+y)\ \mathrm{mod} \ 9=0\\y=6[/tex]
Dla opcji [tex]4)[/tex]:
[tex](16+y) \ \mathrm{mod} \ 9=0\\y=2[/tex]
zatem:
[tex]$\left \{ {{x=2} \atop {y=5}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{x=4} \atop {y=1}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{x=6} \atop {y=6}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{x=8} \atop {y=2}} \right. $[/tex]
Są więc dokładnie cztery takie liczby: [tex]252, \ 414, \ 666, \ 828[/tex]
