Liczba przekątnych ([tex]P_n[/tex]) wielokąta wypukłego wyraża się wzorem [tex]P_n=\dfrac{n(n-3)}{2}[/tex] gdzie [tex]n[/tex] to liczba boków.
Z treści zadania mamy, że [tex]n=2k+1[/tex] (gdzie [tex]k\in\mathbb{N} \wedge k>1[/tex] - dla [tex]k=1[/tex] mamy trójkąt, który nie ma przekątnych).
Podstawiamy [tex]2k+1[/tex] pod [tex]n[/tex] do wzoru na liczbę przekątnych:
[tex]P_{2k+1}=\dfrac{(2k+1)(2k+1-3)}{2}=\dfrac{(2k+1)(2k-2)}{2}=\dfrac{2(2k+1)(k-1)}{2}=\\\\=(2k+1)(k-1)[/tex]
Widzimy, że jest to iloczyn liczby boków ([tex]2k+1[/tex]) i jakiejś innej liczby naturalnej ([tex]k-1[/tex]), a więc jest to wielokrotność liczby boków, c.k.d.
