Odpowiedź:
[tex]x\in(-\infty,3]\cup[4, +\infty)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Potrzeba trochę elementarnej wiedzy. Funkcja [tex]5^x[/tex] jest rosnąca (dla [tex]x_1 > x_2[/tex] [tex]5^{x_1} > 5^{x_2}[/tex]). W ogólności funkcja [tex]a^x[/tex] jest rosnąca dla [tex]a > 1[/tex].
Dlatego [tex]5^{x^2-7x+12} \geq 1 \iff x^2 - 7x + 12 \geq 0[/tex], ponieważ [tex]5^0 = 1[/tex].
Zatem wystarczy rozwiązać nierówność kwadratową. Klasyczną licealną metodą rozwiązania nierówności kwadratowej jest narysowanie wykresu znaku funkcji (w załączniku). Aby narysować ten wykres, najpierw rozłożymy trójmian kwadratowy na iloczyn dwóch czynników liniowych:
[tex]x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)[/tex]
Mamy już dwa miejsca zerowe funkcji: x=3 i x=4. Ponieważ współczynnik przy [tex]x^2[/tex] jest dodatni, parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona zwrócone do góry. Te informacje wystarczają, aby sporządzić wykres znaku funkcji.
Z wykresu odczytujemy, że [tex]x^2-7x+12 \geq 0[/tex] dla [tex]x\in(-\infty,3]\cup[4, +\infty)[/tex].
