Odpowiedź:
[tex]p \in (-\infty, -5)\cup(-1, +\infty)\setminus\{\frac{1}{3}\}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ustalmy najpierw dziedzinę tego równania. Ponieważ mianowniki muszą być różne od 0, [tex]x \neq \frac{2}{3}[/tex] i [tex]x \neq 0[/tex]. Zatem dziedziną jest [tex]\mathbb{R}\setminus\{0, \frac{2}{3}\}[/tex].
Teraz możemy skorzystać z własności proporcji. Wyjściowe równanie jest równoważne następującemu:
[tex]x(x-2p)=2(3x-2)[/tex]
[tex]x^2-2px-6x+4 = 0[/tex]
[tex]x^2-(2p+6)x+4 =0[/tex]
O ilości rozwiązań poinformuje nas wyróżnik trójmianu kwadratowego [tex]\Delta = (2p+6)^2-16[/tex]
Jeżeli [tex]\Delta > 0[/tex] to równanie ma dwa różne rozwiązania.
[tex]\Delta > 0 \iff (2p+2)(2p+10)>0[/tex]
[tex]4(p+1)(p+5) >0[/tex]
[tex]p \in (-\infty, -5)\cup(-1, +\infty)[/tex]
Należy jeszcze ręcznie wykluczyć wartości p, które powodują, że jedno z rozwiązań nie jest w dziedzinie. W tym celu podstawiamy pod x wartości spoza dziedziny i znajdujemy odpowiadające im p.
[tex]\frac{4}{9} - (2p+6)\frac{2}{3} +4 = 0[/tex]
[tex]4 -6(2p-6)+36 = 0[/tex]
[tex]12p = 3[/tex]
[tex]p = \frac{1}{3}[/tex]
Dlatego dodatkowo [tex]p \neq \frac{1}{3}[/tex]. Dla żadnej wartości p rozwiązaniem nie jest x = 0.
