Cześć!
Skoro pierwiastki wielomianu to [tex]x_1[/tex], [tex]x_2=2x_1[/tex], [tex]x_3=4x_1[/tex], to wielomian ma postać:
[tex]W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex], czyli [tex]W(x)=a(x-x_1)(x-2x_1)(x-4x_1)[/tex]. Ponadto [tex]a=1[/tex], bo przy iksie w najwyższej potędze wielomianu stoi właśnie 1. Zatem:
[tex]W(x)=(x-x_1)(x-2x_1)(x-4x_1)\\\\W(x) = (x^2-2x_1x-x_1x+2x_1^2)(x-4x_1)\\\\W(x) = x^3 -4x_1x^2 -2x_1x^2+8x_1^2x-x_1x^2+4x_1^2x+2x_1^2x-8x_1^3\\\\W(x)=x^3-7x_1x^2+14x_1^2x-8x_1^3[/tex]
Przyrównując wzory wielomianów:
[tex]~~~~~~~x^3+mx^2+nx+8 \equiv x^3-7x_1x^2+14x_1^2x-8x_1^3 \iff\\\\\iff m=-7x_1 \ \wedge \ n=14x_1^2 \ \wedge \ 8=-8x_1^3[/tex]
Spinając w układ równań:
[tex]$\left\{ \begin{array}{ll}m=-7x_1\\n=14x_1^2\\-8x_1^3=8\end{array} \right.$\\\\\\$\left\{ \begin{array}{ll}m=-7x_1\\n=14x_1^2\\x_1^3=-1\end{array} \right.$\\\\\\\ $\left\{ \begin{array}{ll}m=-7\cdot (-1)\\n=14\cdot (-1)^2\\\underline{x_1=-1}\end{array} \right.$\\[/tex]
Zatem:
[tex]x_1=-1\\\\x_2=2x_1 = -2\\\\x_3=4x_1=-4[/tex]
A ponadto:
[tex]$\left\{ \begin{array}{ll}m=7\\n=14\end{array} \right.$\\[/tex]
Pozdrawiam!
