Rozwiązanie:
Ustalmy [tex]n=2021[/tex] i rozpatrzmy następujące liczby:
[tex](n+1)!+1, (n+1)!+2, (n+1)!+3,...,(n+1)!+n[/tex]
Nietrudno zauważyć, że są to kolejne liczby naturalne. Ponadto liczba [tex](n+1)!+2[/tex] jest podzielna przez [tex]2[/tex], liczba [tex](n+1)!+3[/tex] jest podzielna przez [tex]3[/tex], liczba [tex](n+1)!+4[/tex] jest podzielna przez [tex]4[/tex] itp. Liczba [tex](n+1)!+n[/tex] jest podzielna przez [tex]n[/tex]. Podzielności te wynikają z definicji silni danej liczby. Nadmieńmy jeszcze, że [tex](n+1)!>0[/tex], bo [tex]n=2021[/tex], zatem każda kolejna liczba jest większa od tej, przez którą jest podzielna, czyli każda liczba w tym ciągu ma co najmniej trzy dzielniki.
Z powyższych rozważań wynika, że istnieje taki ciąg [tex]2021[/tex] kolejnych liczb naturalnych, że żadna z nich nie jest liczbą pierwszą, co kończy dowód.
Nota bene można pokazać, że istnieje taki ciąg [tex]k[/tex] [tex](k \in \mathbb{N})[/tex] kolejnych liczb naturalnych, że każda z nich jest złożona.
