Zaczynając od wytłumaczenia, co zamierzam zrobić. Od razu rzuca mi się na oko to, że potęgi w równaniach są parzyste, a co więcej są wielokrotnością 2. Stąd też zastosuje pewien trik, na użycie zmiennej t, która przy odpowiednich założeniach, pozwoli mi na sprowadzenie równań do drugiego stopnia, co jest bardzo pożądane:)
d) [tex]x^{4}+5x^{2}+4=0\\[/tex]
założenie: [tex]t=x^{2}[/tex] ∧ [tex]t\geq 0[/tex]
[tex]t^{2}+5t+4=0\\[/tex]
Δ = [tex]25-4*4=9[/tex]
√Δ = [tex]3[/tex]
[tex]t_1=\frac{-5+3}{2} =-1\\t_2=\frac{-5-3}{2} =-4[/tex]
Żadne z powyższych rozwiązań nie spełnia założeń, zatem owo równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
e) [tex]-x^{4}+7x^{2}-12=0\\[/tex]
założenie: [tex]t=x^{2}[/tex] ∧ [tex]t\geq 0[/tex]
[tex]-t^{2}+7t-12=0[/tex]
Δ = [tex]49-4(-12)(-1)=1[/tex]
√Δ = [tex]1[/tex]
[tex]t_1=\frac{-7+1}{-2} =3\\t_2=\frac{-7-1}{-2} =4[/tex]
Oba z rozwiązań spełniają założenia, zatem mogę przystąpić do dalszej części rozwiązania:
[tex]t=3[/tex] ∨ [tex]t=4[/tex]
[tex]x^{2} =3[/tex] ∨ [tex]x^{2} =4[/tex]
[tex]x=\sqrt{3}[/tex] ∨ [tex]x=-\sqrt{3}[/tex] ∨ [tex]x=2[/tex] ∨ [tex]x=-2[/tex]
Pozdrawiam.
