Rozwiązanie:
Niech kąt wypukły [tex]\angle AOB=\alpha[/tex]. Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
[tex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+5+8}{2}=10[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{10(10-8)(10-7)(10-5)} =\sqrt{10 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}=10\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie [tex]ABC[/tex] :
[tex]R=\frac{abc}{4P}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{4 \cdot 10\sqrt{3} } =\frac{7\sqrt{3} }{3}[/tex]
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie [tex]AOB[/tex] :
[tex]7^{2}=(\frac{7\sqrt{3} }{3} )^{2}+(\frac{7\sqrt{3} }{3} )^{2}-2 \cdot (\frac{7\sqrt{3} }{3} )^{2} \cdot cos\alpha \\49=\frac{49}{3} +\frac{49}{3} -2 \cdot \frac{49}{3} \cdot cos\alpha \\147=49+49-98cos\alpha \\cos\alpha =-\frac{49}{98} =-\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =arccos(-\frac{1}{2} )=120^{\circ}[/tex]
Zatem miara kąta wklęsłego [tex]\angle AOB[/tex] wynosi [tex]360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}[/tex]
Drugi podpunkt mamy już zrobiony, ponieważ:
[tex]|OC|=R=\frac{7\sqrt{3} }{3}[/tex]
