Odpowiedź:
a) [tex]|CD|=\dfrac{\sqrt{414}}2[/tex]
b) [tex]R=\dfrac{24\sqrt7}7[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Oznaczmy |∡BAC| = α, |BC| = a i |CD| = x
a)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC mamy:[tex]15^2=18^2+12^2-2\cdot18\cdot12\cdot\cos\alpha\qquad/:3^2\\\\5^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\cos\alpha\\\\48\cos\alpha=36+16-25\qquad/:48\\\\\cos\alpha=\dfrac{27}{48}=\dfrac{9}{16}[/tex]
Natomiast z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC mamy:
[tex]x^2=9^2+12^2-2\cdot9\cdot12\cdot\cos\alpha\\\\x^2=81+144-216\cdot\dfrac9{16}\\\\x^2=225-121,5=103,5=\dfrac{414}4\\\\x=\sqrt{\dfrac{414}4}=\dfrac{\sqrt{414}}2[/tex]
b)
R - długość promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Z jedynki trygonometrycznej mamy: [tex]\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/tex]
a z twierdzenia sinusów: [tex]\dfrac a{\sin\alpha}=2R[/tex], czyli:
[tex]\dfrac {a^2}{1-\cos^2\alpha}=(2R)^2\\\\4R^2=\dfrac{15^2}{1-\frac{81}{256}}\\\\ 4R^2=\dfrac{225}{\frac{175}{256}}\\\\ 4R^2=225\cdot\frac{256}{175}}\qquad/:4\\\\ R^2=9\cdot\dfrac{64}{7}\\\\ R=3\cdot\dfrac8{\sqrt7}=\dfrac{24\sqrt7}7[/tex]
