Z góry sorry za rysunek (i w sumie za wyjaśnienie też) ;)
Kule są umieszczone tak jakby wzdłuż przekątnej sześcianu. Przekątna sześcianu o boku [tex]a[/tex] ma długość [tex]a\sqrt3[/tex].
Możemy zatem zapisać, że [tex]a\sqrt3=4r+2x[/tex]. Teraz trzeba by wyznaczyć wartość [tex]x[/tex] w zależności od [tex]a[/tex] lub [tex]r[/tex], aby być w stanie wyrazić długość promienia kuli w zależności od długości boku sześcianu.
Można to tak zrobić, ale można też to rozwiązać wyznaczając odległość od wierzchołka do środka kuli, czyli [tex]x+r[/tex], bez potrzeby wyznaczania wartości [tex]x[/tex].
Jeżeli przy wierzchołku sześcianu, przy którym znajduje się kula, utworzymy inny sześcian, taki że jeden z jego wierzchołków będzie się pokrywał z wierzchołkiem głównego sześcianu, a przeciwległy wierzchołek będzie się pokrywał ze środkiem kuli, to taki sześcian będzie miał bok długości równej długości promienia kuli czyli [tex]r[/tex]. Przekątna tego sześcianu będzie miała zatem długość [tex]r\sqrt3[/tex] i będzie równa właśnie temu [tex]x+r[/tex] czyli odległości pomiędzy wierzchołkiem sześcianu a środkiem kuli.
Możemy zatem zapisać
[tex]\begin{aligned}&2r\sqrt3 +2r=a\sqrt3\\&r(2\sqrt3+2)=a\sqrt3\\&r=\dfrac{a\sqrt3}{2\sqrt3+2}\\&r=\dfrac{a\sqrt3(2\sqrt3-2)}{(2\sqrt3+2)(2\sqrt3-2)}\\&r=\dfrac{2a(3-\sqrt3)}{12-4}\\&r=\dfrac{2a(3-\sqrt3)}{8}\\&r=\dfrac{a(3-\sqrt3)}{4}\\\end[/tex]
