Rozwiązanie:
[tex]V=\pi r^{2}h=54\pi \\r^{2}h=54\\h=\frac{54}{r^{2}}[/tex]
Zapisujemy funkcję zmiennej [tex]r[/tex] pola powierzchni całkowitej walca:
[tex]P(r)=2\pi r(r+\frac{54}{r^{2}} )=2\pi r^{2} +\frac{108\pi }{r}[/tex]
Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji:
[tex]D: r>0[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]P'(r)=4\pi r-\frac{108\pi }{r^{2}}[/tex]
Zerujemy ją:
[tex]P'(r)=0 \iff 4\pi r-\frac{108\pi }{r^{2}}=0\\4\pi r^{3}-108\pi =0\\r^{3}-27 =0\\r^{3}=27\\r=3cm[/tex]
Szkicujemy symboliczny wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]P'(r)>0 \ dla \ r \in (3,\infty)\\P'(r)=0 \ dla \ r=3\\P'(r)<0 \ dla \ r \in (0,3)[/tex]
Zatem:
[tex]P(r)[/tex] rośnie dla [tex]r \in (3,\infty)[/tex]
[tex]P(r)[/tex] maleje dla [tex]r \in (0,3)[/tex]
To oznacza, że funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]r=3[/tex]. Obliczamy wysokość walca o najmniejszym polu:
[tex]h=\frac{54}{r^{2}}=\frac{54}{9}=6cm[/tex]
Obliczamy najmniejsze możliwe pole:
[tex]P=2\pi *9+\frac{108\pi }{3} =18\pi +36\pi =54\pi[/tex]
