Odpowiedź:
1. Skoro BB'||CC', to skorzystamy z podobieństwa trójkątów.
[tex]\Delta OBB' \thicksim \Delta OCC'[/tex], z cechy kąt-kąt-kąt - mają wspólny kąt przy wierzchołku O, [tex]|\measuredangle OB'B|=|\measuredangle OC'C|[/tex] oraz [tex]|\measuredangle OBB'|=|\measuredangle OCC'|[/tex] (bo [tex]BB'\parallel CC'[/tex]).
Stąd wynika, że
[tex]\frac{|OB'|}{|OC'|}=\frac{|BB'|}{|CC'|}[/tex]
Podstawmy długości boków do powyższej proporcji
[tex]\frac{4}{4+x}=\frac{6}{10}\\\frac{4}{4+x}=\frac{3}{5}[/tex]
Mnożymy na krzyż, otrzymując
[tex]4\cdot 5 = 3\cdot (4+x)\\20=12+3x\\3x=8\\x=\frac{8}{3}.[/tex]
2. Skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Mamy
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma[/tex], gdzie c to szukany trzeci bok, a i b to znane nam boki, a [tex]\gamma[/tex] to kąt między nimi. Podstawiamy do wzoru:
[tex]c^2=10^2+8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(30^{\circ})\\c^2=100+64 - 160 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\c^2=164-80\sqrt3\\\Rightarrow c=\sqrt{164-80\sqrt{3}}=2\sqrt{41-20\sqrt{3}}[/tex]
Rysunek w załączeniu.
3. Skorzystamy z twierdzenia sinusów.
Obliczmy najpierw miarę kąta naprzeciwko boku o długości 8 cm (oznaczmy bok - a, a kąt - [tex]\alpha[/tex])
[tex]\alpha=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}[/tex]
Oznaczmy [tex]\beta=75^{\circ}[/tex] i bok naprzeciwko tego kąta - b oraz [tex]\gamma = 60^{\circ}[/tex] i bok naprzeciwko tego kąta - c. Wówczas z tw. sinusów
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}[/tex]
Obliczmy najpierw długość boku b:
[tex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\\\frac{8}{\sin45^{\circ}}=\frac{b}{\sin75^{\circ}}[/tex]
Wiadomo, że [tex]\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] oraz z informacji do zadania, [tex]\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex].
Wymnóżmy na krzyż, a następnie podstawmy wartości sinusów:
[tex]8\cdot\sin 75^{\circ} = b\cdot\sin 45^{\circ}\\8\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = b\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\2(\sqrt6+\sqrt2)=b\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad||\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\\2(\sqrt6+\sqrt2) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b\\b=\frac{4(\sqrt6+\sqrt2)}{\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt6+\sqrt2)\cdot\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot (\sqrt6+\sqrt2) \cdot \sqrt2=2\sqrt{12}+2\sqrt4=4\sqrt3+4\\b=4\sqrt3+4[/tex]
Korzystając z tej samej metody, obliczmy długość boku c:
[tex]\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}\\\frac{8}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 60^{\circ}}[/tex]
Wiadomo, że [tex]\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] i [tex]\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Wymnażamy na krzyż i podstawiamy wartości:
[tex]8 \cdot \sin 60^{\circ} = c \cdot \sin 45^{\circ}\\8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\4\sqrt3 = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \quad ||\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\\\frac{4 \sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}}=c\\c=\frac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{2}=4\sqrt6[/tex]
