Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru:
[tex]P=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}=3\sqrt{3} \\a^{2}\sqrt{3}=12\sqrt{3} \\a^{2}=\sqrt{12}\\a=2\sqrt{3}[/tex]
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest więc równy:
[tex]r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}*\frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{3} }{6} =\frac{2\sqrt{3}*\sqrt{3} }{6}=1[/tex]
Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
[tex]R=\frac{2}{3}h=2r=2[/tex]
Zadanie 2.
[tex]a=2\\b=3[/tex]
Obliczamy długość przeciwprostokątnej (z tw. Pitagorasa):
[tex]c^{2}=2^{2}+3^{2}\\c^{2}=4+9=13\\c=\sqrt{13}[/tex]
Obliczamy długość promienia wpisanego w ten trójkąt:
[tex]r=\frac{a+b-c}{2} =\frac{2+3-\sqrt{13} }{2} =\frac{5-\sqrt{13} }{2}[/tex]
Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie:
[tex]R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{13} }{2}[/tex]
Zadanie 3.
Obliczamy połowę długości podstawy:
[tex]\frac{x}{2} =5[/tex]
Z tw. Pitagorasa obliczamy wysokość trójkąta:
[tex]h^{2}=13^{2}-5^{2}\\h^{2}=169-25\\h^{2}=144\\h=12[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{xh}{2}=\frac{10*12}{2}=60[/tex]
Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
[tex]p=\frac{2y+x}{2}=\frac{13+13+10}{2}=18[/tex]
Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:
[tex]P=rp \Rightarrow r=\frac{P}{p}=\frac{60}{18} =\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}[/tex]
Zadanie 4.
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}absin\alpha =\frac{1}{2}*6*8*sin30=24*\frac{1}{2}=12[/tex]
Zadanie 5.
Zauważmy najpierw, że:
[tex](\sqrt{7} )^{2} +(\sqrt{8} )^{2} =(\sqrt{15} )^{2} \\7+8=15\\15=15\\L=P[/tex]
Zatem na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że jest to trójkąt prostokątny.
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}*\sqrt{7}*\sqrt{8}=\frac{1}{2}*\sqrt{7} *2\sqrt{2}=\sqrt{14}[/tex]
Obliczamy promień okręgu opisanego na tym trójkącie:
[tex]R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{15} }{2}[/tex]
