Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Długość odcinka [tex]|AD|[/tex] wynosi [tex]\frac{c}{2}[/tex], gdyż jest to promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Ze wzoru na wysokość w trójkącie prostokątnym wiadomo, że:
[tex]h=\frac{ab}{c}[/tex]
Ponadto z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego [tex]ABC[/tex] wiadomo:
[tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym [tex]DAE[/tex] mamy:
[tex]x^{2}=(\frac{1}{2}c)^{2}-(\frac{ab}{c} )^{2} \\x^{2}=\frac{c^{2}}{4} -\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}} \\x^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{4} -\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \\x^{2}=\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}}{4(a^{2}+b^{2})} \\x^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-4a^{2}b^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}\\x^{2}=\frac{a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}{4(a^{2}+b^{2})} \\x^{2}=\frac{(a^{2}-b^{2})^{2}}{4c^{2}} \\x=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{2c}[/tex]
Z definicji funkcji tangens w tym trójkącie mamy:
[tex]tg\alpha =\frac{x}{h}=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{2c} *\frac{c}{ab} =\frac{|a^{2}-b^{2}|}{2ab}[/tex]
co kończy dowód.
