Odpowiedź:
[tex]C=\bigg(-2\sqrt{3} \ ; \ -\sqrt{3}\bigg)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]xy=6\\y=\frac{6}{x}[/tex]
Niech nasz punkt C ma współrzędne:
[tex]C=\bigg(x \ ; \ \frac{6}{x} \bigg)[/tex]
przy czym:
[tex]x<0[/tex]
Skorzystajmy ze wzoru, który opisuje pole trójkąta za pomocą współrzędnych punktów, które stanowią jego wierzchołki:
[tex]P_{\Delta}=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|[/tex]
W naszym przypadku jest to:
[tex]P_{\Delta}=\frac{1}{2}|(6-2)(\frac{6}{x}-3)-(1-3)(x-2)|\\\\P_{\Delta}=\frac{1}{2}|\frac{24}{x}-12-(-2x+4)|\\\\P_{\Delta}= \frac{1}{2}|\frac{24}{x}+2x-16|[/tex]
Ponieważ wiemy że nasza zmienna jest liczbą ujemną możemy uprościć zapis i wyeliminować wartość bezwzględną:
[tex]P_{\Delta}=\frac{1}{2} \cdot(-\frac{24}{x}-2x+16)\\\\P_{\Delta}=-\frac{12}{x}-x+8[/tex]
Nasze pole dane jest więc powyższą funkcją zmiennej [tex]x[/tex]. Należy teraz wyznaczyć jej ekstremum. Obliczmy zatem pochodną tego wyrażenia.
[tex]\frac{d}{dx}P(x)= \frac{12}{x^2} -1[/tex]
Przyrównujemy pochodną do zera:
[tex]\frac{12}{x^2}-1=0\\\\\frac{12}{x^2}=1\\\\x^2=12\\\\x=-\sqrt{12}=-2\sqrt{3}[/tex]
Sprawdzamy czy w punkcie krytycznym jest ekstremum:
[tex]P'(-3)=\frac{12}{9}-1= \frac{1}{3}\\\\P'(-4)=\frac{12}{16}-1= -\frac{1}{4}[/tex]
Pochodna zmienia znak w otoczeniu wyznaczonego punktu, zatem jest to ekstremum. Znak zmienia się z ujemnego na dodatni, oznacza to, że w tym punkcie mamy minimum lokalne.
Czyli szukany punkt C ma współrzędne:
[tex]C=\bigg(-2\sqrt{3} \ ; \ \frac{6}{-2\sqrt{3} } \bigg)=\bigg(-2\sqrt{3} \ ; \ -\sqrt{3}\bigg)[/tex]
