Rozwiązania:
Założenia:
[tex]f: R \rightarrow R[/tex]
[tex]g(x)=-f(x)[/tex]
Wiemy też, ze funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca. Dla funkcji rosnących prawdziwa jest zależność:
[tex]x_{1}<x_{2} \iff f(x_{1})<f(x_{2})[/tex] [tex](1)[/tex]
Dla funkcji malejących:
[tex]x_{1}<x_{2} \iff f(x_{1})>f(x_{2})[/tex]
Zatem musimy tylko wykazać, że:
[tex]x_{1}<x_{2} \iff g(x_{1})>g(x_{2})[/tex]
Zauważmy, że skoro [tex]g(x)=-f(x)[/tex], to:
[tex]g(x_{1})=-f(x_{1})\\g(x_{2})=-f(x_{2})[/tex]
Zatem nasza teza wygląda tak:
[tex]x_{1}<x_{2} \iff -f(x_{1})>-f(x_{2})[/tex]
Pozostało tylko uzasadnić jej prawdziwość. Jest to dość proste, gdyż wystarczy, że pomnożymy tę nierówność obustronnie przez [tex](-1)[/tex] :
[tex]x_{1}<x_{2} \iff f(x_{1})<f(x_{2})[/tex]
I co otrzymaliśmy? Dostaliśmy oczywiście nierówność prawdziwą, gdy wiadomo, że funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca [tex](1)[/tex], co kończy dowód.
