RozwiÄ…zanie:
Skoro w trapez da się wpisać okrąg, to:
[tex]a+b=2c\\c=\frac{a+b}{2}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym [tex]AED[/tex] mamy:
[tex](\frac{a-b}{2} )^{2}+h^{2}=c^{2}\\h^{2}=(\frac{a+b}{2} )^{2}-(\frac{a-b}{2} )^{2}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}{4} =\frac{4ab}{4} =ab[/tex]
Z własności w trójkącie prostokątnym (wynika ona z podobieństwa odpowiednich trójkątów) otrzymamy:
[tex]h^{2}=(\frac{a-b}{2} )*(b+\frac{a-b}{2})=(\frac{a-b}{2} )*(\frac{a+b}{2} )=\frac{a^{2}-b^{2}}{4} \\h^{2}=ab=\frac{a^{2}-b^{2}}{4} \\a^{2}-4ab-b^{2}=0\\\Delta_{a}=16b^{2}-4*1*(-b^{2})=20b^{2}\\\sqrt{\Delta_{a}} =2\sqrt{5} b\\a_{1}=\frac{4b-2\sqrt{5} b}{2} =2b-\sqrt{5}b=b(2-\sqrt{5})\\ a_{2}=\frac{4b+2\sqrt{5}b }{2} =2b+\sqrt{5} b =b(2+\sqrt{5})[/tex]
Ponieważ [tex]2-\sqrt{5}<0[/tex], to wybieramy drugie rozwiązanie. Z definicji funkcji sinus dostaniemy:
[tex]sin\alpha =\frac{c}{a}=\frac{a+b}{2a}=\frac{1}{2} +\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{b}{2(2+\sqrt{5})b }=\frac{1}{2}+\frac{1}{4+2\sqrt{5} }= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}-2 }{2}=\frac{\sqrt{5} -1}{2}[/tex]
