Rozwiązanie:
Zadanie 9.94
Nie do wszystkich funkcji są wykresy ze względu na ograniczenie.
a)
[tex]f(x)=\frac{1}{|x|-2} \\D: |x|\neq 2\\x\neq -2 \wedge x\neq 2[/tex]
Na początku spójrzmy sobie na tę funkcję tak:
[tex]g(x)=\frac{1}{x-2}[/tex]
To jest funkcja homograficzna, proces jej rysowania jest dość schematyczny i prosty. Najpierw określamy asymptoty takiej funkcji, w naszym przypadku:
[tex]x=2, y=0[/tex]
Teraz patrzymy na współczynnik liczbowy znajdujący się w mianowniku, u nas [tex]a=1[/tex]. Jeżeli [tex]a>0[/tex], to wykres będzie przebiegał w [tex]I[/tex] i [tex]III[/tex] ćwiartce układu współrzędnych. Teraz należy wyznaczyć punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych, u nas:
[tex]OX: ---\\OY: (0,-\frac{1}{2})[/tex]
Można dodatkowo wyznaczyć inne punkty charakterystyczne, aby łatwiej taki wykres narysować (najlepiej o współrzędnych całkowitych). W końcu można narysować wykres - jest to hiperbola (wykres w załączniku).
Jednak nie jest to jeszcze wykres funkcji podanej w zadaniu. Co z tą wartością bezwzględną? Obejmuje ona tylko argument (czyli tylko [tex]x[/tex]), zatem aby narysować taki wykres należy "zasłonić" to co jest po lewej stronie osi [tex]OY[/tex], a następnie odbić symetrycznie wartości z prawej strony tej osi (wykres w załączniku).
b)
[tex]f(x)=(|x|-1)^{2}[/tex]
[tex]D: x \in \mathbb{R}[/tex]
Przykład podobny do poprzedniego. Znowu na początku należy spojrzeć na funkcję tak:
[tex]g(x)=(x-1)^{2}[/tex]
Jest to zwykła "kwadratówka", czyli funkcja kwadratowa. Ponadto jest w postaci kanonicznej, więc wystarczy ustalić tylko współrzędne wierzchołka i narysować wykres (załącznik).
Teraz wykonujemy to samo przekształcenie, co w poprzednim przykładzie i otrzymujemy wykres funkcji wyjściowej (załącznik).
c)
[tex]f(x)=\sqrt{|x|-1}[/tex]
[tex]D: |x|-1\geq 0\\|x|\geq 1\\x\geq 1 \vee x\leq -1\\x \in (-\infty,-1> \cup <1, \infty)[/tex]
Historia znowu się powtarza... Patrzymy najpierw na funkcję tak:
[tex]g(x)=\sqrt{x-1}[/tex]
Jest to funkcja [tex]\sqrt{x}[/tex], tylko przesunięta o jedną jednostkę w prawo. Żeby uzyskać funkcję wyjściową znowu wykonujemy wcześniejsze przekształcenie.
d)
[tex]f(x)=sgn(|x|+2)[/tex]
[tex]D: x \in \mathbb{R}[/tex]
Wykres wykonujemy podobnie do poprzednich, wcześniej należy się zapoznać z wykresem funkcji [tex]sgn(x)[/tex] (signum).
