Rozwiązanie:
[tex]2a^{2}-2ab+3b^{2}\geq 0\\a^{2}-2ab+b^{2}+a^{2}+2b^{2}\geq 0\\(a-b)^{2}+a^{2}+2b^{2}\geq 0[/tex]
Dalej się już nic z tym nie zrobi. Teraz w tego typu zadaniach trzeba napisać stosowny komentarz, potwierdzający nasz dowód. Otóż trzeba zauważyć, że liczby [tex](a-b)^{2}, a^{2}[/tex] i [tex]2b^{2}[/tex] są ZAWSZE nieujemne (czyli nieujemne dla [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex]). Jest tak, ponieważ dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da nam nigdy liczby ujemnej (czyli mniejszej od [tex]0[/tex]). Łatwo to sprawdzić:
[tex](-13)^{2}=169\geq 0\\(-\frac{\sqrt{5} }{3} )^{2}=\frac{5}{9} \geq 0\\0^{2}=0\geq 0[/tex]
itp.
Komentarz do tego zadania mógłby być taki:
Po lewej stronie nierówności otrzymaliśmy sumę kwadratów liczb rzeczywistych, które są zawsze nieujemne, więc całe wyrażenie także jest nieujemne dla [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex].
[tex]q.e.d.[/tex]
