Odpowiedź :
Odpowiedź:
12 (jednostek kwadratowych)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Znając dwa wierzchołki rombu możemy obliczyć długość jego boku, używając do tego wzoru na długość odcinka:
L=[tex]\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex]
|AD|=[tex]\sqrt{(-5-(-3))^2+(8-4)^2}=\sqrt{(-2)^2+(4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}[/tex]
Skoro przekątna AC leży na prostej y=x+7, to punkt C musi spełniać jej równanie. Co więcej, skoro wszystkie boki rombu mają taką samą długość, to |AD|=|DC|.
Zatem, zakładając że punkt C ma współrzędne (m,n), wiemy że:
n=m+7, bo musi spełniać równanie y=x+7,
i |DC|=[tex]\sqrt{(-5-m)^2+(8-n)^2}=\sqrt{20}[/tex]
podstawiając pierwsze równanie do drugiego i podnosząc strony do kwadratu, aby nie wykonywać operacji pod pierwiastkiem, otrzymujemy:
[tex](-5-m)^2+(8-(m+7))^2}=20[/tex]
Rozwiązujemy równanie:
[tex](-5-m)^2+(8-(m+7))^2}=20\\(-5-m)^2+(1-m)^2}=20\\(-5)^2+2(-m)(-5)+(-m)^2+1-2m+m^2=20\\25+10m+m^2+1-2m+m^2-20=0\\2m^2+8m+6=0[/tex]
Liczymy [tex]\Delta[/tex]:
[tex]\Delta=b^2-4ac=8^2-4*2*6=64-48=16\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{16} =4[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe
[tex]m_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-8-4} {4}=-3\\m_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-8+4} {4}=-1\\[/tex]
Dla otrzymanych wartości obliczamy drugą współrzędną:
[tex]n_1=m_1+7=-3+7=4\\n_2=m_2+7=-1+7=6[/tex]
Więc potencjalne współrzędne dla punktu C to (-3,4) lub (-1,6). Jako że współrzędne (-3,4) to współrzędne punktu A, punkt C=(-1,6).
Znając punkty A i C, i wiedząc że leżą one na przekątnej rombu, możemy obliczyć współrzędne punktu znajdującego się pomiędzy nimi.
S=([tex]\frac{x_A+x_C}{2}[/tex],[tex]\frac{y_A+y_c}{2}[/tex])=([tex]\frac{-3+(-1)}{2}[/tex],[tex]\frac{4+6}{2}[/tex])=([tex]-2[/tex],[tex]5[/tex]).
Punkt ten znajduje się w centrum rombu. Stąd, odległość |DS| musi być taka sama jak |SB|. Używając wzorów którymi posłużyliśmy się aby obliczyć środek rombu, obliczamy współrzędne punktu B:
[tex]\left \{ \frac{x_D+x_B}{2}=-2 \atop {\frac{y_D+y_B}{2}=5}} \right. \\\left \{ -5+x_B=-4 \atop {8+y_B=10}} \right. \\\left \{x_B=-4+5 \atop {y_B=10-8}} \right. \\\left \{ x_B=1 \atop {y_B=2}} \right. \\[/tex]
Punkt B ma zatem współrzędne (1,2). Znając wszystkie wierzchołki rombu, możemy użyć wzoru na pole rombu, w którym wykorzystuje się długość przekątnych:
[tex]P =\frac{d_1*d2}{2}[/tex]
Obliczamy [tex]d_1[/tex]:
[tex]d_1=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}=\sqrt{(-3-(-1))^2+(4-6)^2}=\\=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\[/tex]
oraz [tex]d_2[/tex]:
[tex]d_2=\sqrt{(x_B-x_D)^2+(y_B-y_D)^2}=\sqrt{(1-(-5))^2+(2-8)^2}=\\=\sqrt{6^2+(-6)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\\[/tex]
Podstawiamy otrzymane wartości do wzoru na pole rombu:
[tex]P =\frac{d_1*d2}{2}=\frac{2\sqrt{2} *6\sqrt{2} }{2}=\frac{2*6(\sqrt{2})^2 }{2}=6*2=12[/tex]