Rozwiązanie:
Ja zrobiłbym to tak:
[tex]|x^{2}-6x+5|=2-m[/tex]
[tex]|(x-1)(x-5)|=2-m[/tex]
Po lewej stronie mamy wartość bezwzględną, więc musimy założyć, że:
[tex]2-m\geq 0\\m\leq 2[/tex]
Teraz rozbijamy to równanie na dwa przypadki:
[tex]x^2-6x+5=2-m[/tex] ∨ [tex]x^2-6x+5=m-2[/tex]
[tex]x^{2}-6x+m+3=0[/tex] ∨ [tex]-x^{2}+6x+m-7=0[/tex]
Teraz spójrzmy, że takie rozbicie może mieć aż cztery różne rozwiązania. Zatem nie wolno nam szukać dwóch rozwiązań w każdym z przypadków. Musimy rozważyć takie możliwości: pierwsze równanie ma dwa rozwiązania dodatnie, a drugie w ogóle nie ma rozwiązań lub pierwsze równanie nie ma w ogóle rozwiązań, a drugie ma dwa rozwiązania dodatnie i sprawdzić, co się stanie gdy po prawej stronie dostaniemy [tex]0[/tex], czyli [tex]m=2[/tex].
[tex]1[/tex]° Pierwsze równanie ma dwa rozwiązania dodatnie, a drugie w ogóle nie ma rozwiązań:
Pierwsze równanie:
[tex]x^{2}-6x+m+3=0\\\Delta=36-4(m+3)=36-4m-12=-4m+24[/tex]
[tex]-4m+24>0\\4m<24\\m<6[/tex]
[tex]x_{1}+x_{2}>0[/tex]
[tex]6>0[/tex]
[tex]x_{1}x_{2}>0[/tex]
[tex]m+3>0\\m>-3[/tex]
Zatem:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-3,6)[/tex]
Drugie równanie:
[tex]-x^{2}+6x+m-7=0[/tex]
[tex]\Delta=36-4*(-1)*(m-7)=36+4m-28=4m+8[/tex]
[tex]4m+8<0\\m+2<0\\m<-2[/tex]
Zatem ostatecznie z tych warunków:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-3,-2)[/tex]
[tex]2[/tex]° Pierwsze równanie nie ma w ogóle rozwiązań, a drugie ma dwa rozwiązania dodatnie:
Pierwsze równanie:
[tex]-4m+24<0\\4m>24\\m>6[/tex]
Drugie równanie:
[tex]4m+8>0\\m+2>0\\m>-2[/tex]
[tex]x_{1}+x_{2}>0:\\6>0[/tex]
[tex]x_{1}x_{2}>0:[/tex]
[tex]7-m>0\\m<7[/tex]
Zatem:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-2,7)[/tex]
Zatem ostatecznie z tych warunków:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](6,7)[/tex]
[tex]3[/tex]° [tex]m=2[/tex]
[tex]x^2-6x+5=0\\(x-1)(x-5)=0\\x=1, x=5[/tex]
Zatem gdy [tex]m=2[/tex], to warunki zadania są spełnione.
Uwzględniamy teraz wszystkie warunki zadania (w szczególności [tex]m\leq 2[/tex]) i otrzymujemy odpowiedź do zadania:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-3,-2)[/tex] ∪ [tex][2][/tex]
