Odpowiedź:
[tex]A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{7}{3} &2&-\frac{1}{3} \\\frac{5}{3} &-1&-\frac{1}{3} \\-2&1&1\end{array}\right][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy ze wzoru:
[tex]A^{-1}=\frac{(A^D)^T}{det(A)}[/tex]
Zaczynamy od wyznacznika (metoda Sarrusa):
[tex]det(A)=\left|\begin{array}{ccc}2&7&3\\3&9&4\\1&5&3\end{array}\right|=54+28+45-27-40-63=-3[/tex]
Wyznacznik jest różny od zera, zatem istnieje macierz odwrotna. Kontynuujemy i wyznaczamy macierz dopełnień algebraicznych:
[tex]A_{11}=\left|\begin{array}{cc}9&4\\5&3\end{array}\right| =27-20=7[/tex]
[tex]A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}3&4\\1&3\end{array}\right| =-(9-4)=-5[/tex]
[tex]A_{13}=\left|\begin{array}{cc}3&9\\1&5\end{array}\right| =15-9=6[/tex]
[tex]A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}7&3\\5&3\end{array}\right| =-(21-15)=-6[/tex]
[tex]A_{22}=\left|\begin{array}{cc}2&3\\1&3\end{array}\right| =6-3=3[/tex]
[tex]A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}2&7\\1&5\end{array}\right| =-(10-7)=-3[/tex]
[tex]A_{31}=\left|\begin{array}{cc}7&3\\9&4\end{array}\right| =28-27=1[/tex]
[tex]A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}2&3\\3&4\end{array}\right| =-(8-9)=1[/tex]
[tex]A_{33}=\left|\begin{array}{cc}2&7\\3&9\end{array}\right| =18-21=-3[/tex]
Czyli:
[tex]A^D=\left[\begin{array}{ccc}7&-5&6\\-6&3&-3\\1&1&-3\end{array}\right][/tex]
Transponujemy macierz dopełnień algebraicznych:
[tex](A^D)^T=\left[\begin{array}{ccc}7&-6&1\\-5&3&1\\6&-3&-3\end{array}\right][/tex]
Wyznaczamy macierz odwrotną:
[tex]A^{-1}=-\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}7&-6&1\\-5&3&1\\6&-3&-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{7}{3} &2&-\frac{1}{3} \\\frac{5}{3} &-1&-\frac{1}{3} \\-2&1&1\end{array}\right][/tex]
