Rozwiązanie:
[tex](x+4)^{2}+(y-1)^{2}=25\\3x+4y-52=0[/tex]
Z równania okręgu:
[tex]S=(-4,1), r=5[/tex]
Obliczamy odległość środka okręgu od danej prostej:
[tex]d=\frac{|-12+4-52|}{\sqrt{25} }=\frac{60}{5} =12[/tex]
Stąd możemy obliczyć promień szukanego okręgu:
[tex]2r_{0}=d-r=12-5=7\\r_{0}=\frac{7}{2}[/tex]
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez punkt [tex]S[/tex]:
Najpierw przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:
[tex]y=-\frac{3}{4} x+13[/tex]
Zatem współczynnik kierunkowy szukanej prostej musi być równy [tex]a=\frac{4}{3}[/tex].
[tex]y=\frac{4}{3}x+b\\1=-\frac{16}{3}+b\\b=1+\frac{16}{3}=\frac{19}{3} \\y=\frac{4}{3}x+\frac{19}{3}[/tex]
Wyznaczamy punkty przecięcia tej prostej z danym okręgiem i z daną prostą:
1) z okręgiem:
[tex](x+4)^2+(\frac{4}{3}x+\frac{16}{3})^{2}=25\\x^{2}+8x+16+\frac{16}{9}x^{2}+\frac{128}{9}x+\frac{256}{9}=25\\9x^{2}+72x+144+16x^{2}+128x+256=225\\25x^2+200x+175=0\\x^{2}+8x+7=0\\\Delta=64-4*1*7=36\\x_{1}=\frac{-8-6}{2}=-7\\x_{2}=\frac{-8+6}{2}=-1[/tex]
Nas będzie interesowała wartość [tex]x=-1[/tex]. Obliczamy rzędną:
[tex]y=\frac{4}{3}x+\frac{19}{3}=-\frac{4}{3}+\frac{19}{3}=5[/tex]
2) z prostą:
[tex]\frac{4}{3}x+\frac{19}{3}= -\frac{3}{4}x+13\\16x+76=-9x+156\\25x=80\\x=\frac{80}{25}=\frac{16}{5}\\y=\frac{4}{3}*\frac{16}{5} +\frac{19}{3}=\frac{53}{5}[/tex]
Teraz pozostaje nam wyznaczyć środek szukanego okręgu, jest to środek odcinka o wyznaczonych wyżej końcach:
[tex]O=(\frac{-1+\frac{16}{5} }{2} ,\frac{5+\frac{53}{5} }{2} )=(\frac{11}{10},\frac{39}{5})[/tex]
Zapisujemy równanie szukanego okręgu:
[tex](x-\frac{11}{10} )^{2} +(y-\frac{39}{5} )^2=\frac{49}{4}[/tex]
