Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
a)
Obliczamy współrzędne punktu [tex]S[/tex], jest to środek odcinka [tex]AB[/tex]:
[tex]S=(\frac{-3+11}{2}, \frac{-2+10}{2})=(4,4)[/tex]
Wyznaczamy prostą zawierającą środkową [tex]CS[/tex], jest to prosta przechodząca przez punkty [tex]C[/tex] i [tex]S[/tex]:
[tex]a=\frac{4-7}{4-0}=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]y=ax+b\\y=-\frac{3}{4}x+b\\4=-3+b\\b=7\\y=-\frac{3}{4} x+7[/tex]
b)
Wyznaczamy równanie prostej [tex]AC[/tex]:
[tex]a=\frac{7+2}{0+3} =\frac{9}{3}=3[/tex]
[tex]y=ax+b\\y=3x+b\\7=3*0+b\\b=7\\y=3x+7[/tex]
Teraz wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez punkt [tex]B[/tex]:
Skoro prosta ma być prostopadła, to jej współczynnik kierunkowy musi wynosić [tex]-\frac{1}{3}[/tex], zatem mamy:
[tex]y=ax+b\\y=-\frac{1}{3}x+b\\10=-\frac{11}{3}+b\\b= 10+\frac{11}{3}=\frac{41}{3}\\y=-\frac{1}{3}x+\frac{41}{3}[/tex]
Punkt [tex]D[/tex] jest punktem przecięcia tych prostych. Obliczamy jego współrzędne:
[tex]-\frac{1}{3} x+\frac{41}{3}=3x+7\\-x+41=9x +21\\10x=20\\x=2[/tex]
[tex]y=3x+7=3*2+7=6+7=13[/tex]
Stąd:
[tex]D=(2,13)[/tex]
