Zad. 1
Równoległobok ABCD
|AD| = 8 cm i |∡BAD| = 60°
ΔABD to trójkąt prostokątny z kątami 30°, 60° i 90°, zatem:
[tex]|AB| = \frac{|AD|}{2} = \frac{8}{2} = 4 \ cm \\ |BD| = |AB| \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3} =4\sqrt{3} \ cm[/tex]
Obwód równoległoboku ABCD
L₁ = 2 · 8 + 2 · 4 = 16 + 8 = 24 cm
Pole równoległoboku ABCD
P₁ = 4 · 4√3 = 16√3 cm²
Równoległobok EFGH
|EH| = 8 cm i |∡FEH| = 45°
ΔEGH to trójkąt prostokątny z kątami 45°, 45° i 90°, zatem:
[tex]|EF| = |FH|= \frac{|EH|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \ cm[/tex]
Obwód równoległoboku EFGH
L₂ = 2 · 8 + 2 · 4√2 = (16 + 8√2) cm
Pole równoległoboku EFGH
P₂ = 4√2 · 4√2 = 16 · 2 = 32 cm²
Równoległobok KLMN
|KN| = 8 cm i |∡LKN| = 30°
ΔABD to trójkąt prostokątny z kątami 30°, 60° i 90°, zatem:
[tex]|LN| = \frac{|KN|}{2} = \frac{8}{2} = 4 \ cm \\ |KL| = |LN| \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3} =4\sqrt{3} \ cm[/tex]
Obwód równoległoboku KLMN
L₃ = 2 · 8 + 2 · 4√3 = (16 + 8√3) cm
Pole równoległoboku KLMN
P₃ = 4√3 · 4 = 16√3 cm²
Porównanie obwodów
24 < 16 + 8√2 < 16 + 8√3
L₁ < L₂ < L₃
Porównanie pól
16√3 = 16√3 < 32
P₁ = P₃ < P₂
Odp. Największy obwód ma równoległobok KLMN, a największe pole równoległobok EFGH.
