Aby udowodnić, że dana funkcja jest:
- rosnąca wystarczy założyć, że x₁ < x₂, czyli x₂ - x₁ > 0 i wykazać, że:
f(x₁) < f(x₂), czyli f(x₂) - f(x₁) > 0
- stała wystarczy założyć, że x₁ < x₂, czyli x₂ - x₁ > 0 i wykazać, że:
f(x₁) = f(x₂), czyli f(x₂) - f(x₁) = 0
- malejąca wystarczy założyć, że x₁ < x₂, czyli x₂ - x₁ > 0 i wykazać, że:
f(x₁) > f(x₂), czyli f(x₂) - f(x₁) < 0
----------
a)
f(x) = ¹/₂ x - 2
Założenie: x₁ < x₂, czyli x₂ - x₁ > 0
f(x₁) = ¹/₂ x₁ - 2
f(x₂) = ¹/₂ x₂ - 2
f(x₂) - f(x₁) = ¹/₂ x₂ - 2 - (¹/₂ x₁ - 2) = ¹/₂ x₂ - 2 - ¹/₂ x₁ + 2 = ¹/₂ x₂ - ¹/₂ x₁ =
= ¹/₂ (x₂ - x₁)
¹/₂ > 0 i x₂ - x₁ > 0 z złożenia, zatem ¹/₂ (x₂ - x₁) > 0
f(x₂) - f(x₁) > 0, czyli funkcja jest rosnąca.
b)
f(x) = 17
Założenie: x₁ < x₂, czyli x₂ - x₁ > 0
f(x₁) = 17
f(x₂) = 17
f(x₂) - f(x₁) = 17 - 17 = 0
f(x₂) - f(x₁) = 0, czyli funkcja jest stała.
c)
f(x) = - 2x - 3
Założenie: x₁ < x₂, czyli x₂ - x₁ > 0
f(x₁) = - 2x₁ - 3
f(x₂) = - 2x₂ - 3
f(x₂) - f(x₁) = - 2x₂ - 3 - (- 2x₁ - 3) = - 2x₂ - 3 + 2x₁ + 3 = - 2(x₂ - x₁)
- 2 < 0 i x₂ - x₁ > 0 z złożenia, zatem - 2(x₂ - x₁) < 0
f(x₂) - f(x₁) < 0, czyli funkcja jest malejąca.
