Odpowiedź:
Obliczamy długość przekątnej AC równoległoboku:
|AC|=
[tex] \sqrt{( { - 5 - 3)}^{2} + ( { - 4 - 2)}^{2} } = \sqrt{( { - 8)}^{2} + ( { - 6)}^{2} } = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10[/tex]
Teraz obliczamy środek odcinka AC, który jest równocześnie punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku (nazwijmy go E):
E=
[tex]( \frac{ - 5 + 3}{2} . \frac{ - 4 + 2}{2} ) = ( \frac{ - 2}{2} . \frac{ - 2}{2} ) = ( - 1. - 1)[/tex]
Zatem punkt E dzieli na połowę przekątną BD, z czego skorzystamy licząc długość BD:
|BD|=2×|BE|
|BE|=
[tex] \sqrt{( {1 + 1)}^{2} + ( { - 2 + 1)}^{2} } = \sqrt{ {2}^{2} + ( { - 1)}^{2} } = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} [/tex]
to |BD|=2√5
Skorzystamy teraz z dwóch wzorów na pole równoległoboku P=a×h i P=½×p×q:
P=½×10×2√5=10√5
P=|AB|×|DF| (F oznaczmy punkt, w którym odcinek poprowadzony prostopadle do AB przecina ją, a DF to jest właśnie jedna z wysokości równoległoboku)
Teraz liczymy długość AB:
|AB|=
[tex] \sqrt{( { - 5 - 1)}^{2} + ( { - 4 + 2)}^{2} } = \sqrt{( { - 6)}^{2} + ( { - 2)}^{2} } = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} [/tex]
Podstawiamy do wzoru wyżej:
10√5=2√10×|DF|
|DF|=
[tex] \frac{10 \sqrt{5} }{2 \sqrt{10} } = \frac{10 \sqrt{5} \times \sqrt{10} }{2 \sqrt{10} \times \sqrt{10} } = \frac{10 \sqrt{50} }{2 \times 10} = \frac{50 \sqrt{2} }{20} = \frac{5 \sqrt{2} }{2} [/tex]
Teraz liczymy drugą wysokość, na tej samej zasadzie:
P=|BC|×|DH| (H podobnie jak wyżej F, tylko prostopadłe do BC, DH to druga wysokość równoległoboku)
Obliczamy długość BC:
|BC|=
[tex] \sqrt{( {1 - 3)}^{2} + ( { - 2 - 2)}^{2} } = \sqrt{( { - 2)}^{2} + ( { - 4)}^{2} } = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} [/tex]
Podstawiamy teraz znów do wzoru na pole:
10√5=2√5×|DH|
|DH|=
[tex] \frac{10 \sqrt{5} }{2 \sqrt{5} } = \frac{10}{2} = 5[/tex]
Odp.: Długości wysokości równoległoboku to |DF|=5√2/2 i |DH|=5.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mam nadzieję, że wyszło w miarę zrozumiale. W razie czego pytaj jak czegoś nie rozumiesz. :-)
