Rozwiązanie:
1) Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku w załączniku.
Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi [tex]90[/tex]°, zatem drugi kąt ostry ma miarę [tex]60[/tex]°. Rozważany trójkąt jest więc połową trójkąta równobocznego o boku długości [tex]8[/tex]. Stąd obliczamy długości przyprostokątnych w tym trójkącie:
[tex]|AB|=\frac{8}{2}=4\\|AC|=\frac{8\sqrt{3} }{2}=4\sqrt{3}[/tex]
Korzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
[tex]r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{|AC|+|AB|-8}{2}=\frac{4+4\sqrt{3}+8 }{2}=6+2\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy długość okręgu:
[tex]Obw.=2\pi r=2\pi (6+2\sqrt{3})=4(3+\sqrt{3})\pi[/tex]
2) Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku w załączniku.
Podstawa ma długość [tex]6[/tex], zatem [tex]|AP|=|PB|=3[/tex]. Obliczamy długość wysokości rozważanego trójkąta:
[tex]h^{2} =64-9=55\\h=\sqrt{55}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}*\sqrt{55}*6=3\sqrt{55}[/tex]
Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
[tex]p=\frac{6+8+8}{2} = 11[/tex]
Korzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt:
[tex]r=\frac{P}{p}=\frac{3\sqrt{55} }{11}[/tex]
Teraz zauważmy, że trójkąty prostokątne [tex]CPB[/tex] oraz [tex]CLS[/tex] są podobne [tex](kkk)[/tex], stąd otrzymujemy:
[tex]\frac{x}{8}=\frac{r}{3}=\frac{\frac{3\sqrt{55} }{11} }{3}=\frac{\sqrt{55} }{11} \\x=\frac{8\sqrt{55} }{11}[/tex]
