Rozwiązanie:
Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku w załączniku.
Zauważmy, że trójkąt [tex]CPB[/tex] jest połową trójkąta równobocznego o boku długości [tex]10[/tex], zatem [tex]x=5\sqrt{3}[/tex], stąd [tex]|AB|=2x= 10\sqrt{3}[/tex]. Teraz wykorzystamy następujący wzór na pole trójkąta:
[tex]P=pr[/tex]
gdzie [tex]p[/tex] to połowa obwodu trójkąta. Obliczmy najpierw pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}*10*10*sin(120)=50*\frac{\sqrt{3} }{2}= 25\sqrt{3}[/tex]
Teraz obliczamy [tex]p[/tex]:
[tex]p=\frac{10+10+10\sqrt{3} }{2}=10+5\sqrt{3}[/tex]
Z powyższego wzoru wyznaczamy i obliczamy promień okręgu wpisanego w rozważany trójkąt:
[tex]r=\frac{P}{p}= \frac{25\sqrt{3} }{10+5\sqrt{3} } =10\sqrt{3}-15=5(2\sqrt{3}-3)[/tex]
