Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]e)\ sinx cosx(tgx+ctgx)=1\\\\P=1\\\\L=sinx cosx(tgx+ctgx)=sinx cosx(\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx})=\\\\=sinx cosx\cdot\frac{sinx}{cosx}+sinx cosx\cdot\frac{cosx}{sinx}=sin^2x+cos^2x=1\\\\L=P\\[/tex]
[tex]f)\ (tgx+ctgx)^2-(tgx-ctgx)^2=4\\\\P=4\\\\L=(tgx+ctgx)^2-(tgx-ctgx)^2=\\\\=((tgx+ctgx)-(tgx-ctgx))((tgx+ctgx)+(tgx-ctgx))=\\\\=(tgx+ctgx-tgx+ctgx)(tgx+ctgx+tgx-ctgx)=\\\\=2ctgx\cdot 2tgx=4 tgx ctgx=4\cdot1=4\\\\L=P\\[/tex]
[tex]g)\ \dfrac{1}{1+tg^2x}+\dfrac{1}{1+ctg^2x}=1\\\\P=1\\\\L=\dfrac{1}{1+tg^2x}+\dfrac{1}{1+ctg^2x}=\dfrac{1+ctg^2x+1+tg^2x}{(1+tg^2x)(1+ctg^2x)}=\\\\\\=\dfrac{2+tg^2x+ctg^2x}{1+ctg^2x+tg^2x+tg^2x ctg^2x}=\\\\\\=\dfrac{2+tg^2x+ctg^2x}{1+tg^2x+ctg^2x+(tg\cdot ctgx)^2}=\\\\\\=\dfrac{2+tg^2x+ctg^2x}{1+tg^2x+ctg^2x+1^2}=\\\\\\=\dfrac{2+tg^2x+ctg^2x}{2+tg^2x+ctg^2x}=1\\\\L=P[/tex]
Wykorzystaliśmy właściwości funkcji trygonometrycznych:
[tex]tgx=\frac{sinx}{cosx}\\\\ctgx=\frac{cosx}{sinx}\\\\tgx\cdot ctgx=1\\\\sin^2x+cos^2x=1\\[/tex]
