Niech [tex]P_t[/tex] oznacza pole trójkąta ABC, a [tex]P_k[/tex] pole koła; reszta oznaczeń jak na rysunku pomocniczym.
W trójkącie ADS:
- Kąt ADS jest kątem prostym;
- Kąt DAS ma [tex]30^{\circ}[/tex], bo każdy kąt trójkąta równobocznego, a więc również kąt BAC, ma [tex]60^{\circ}[/tex], zaś półprosta wychodząca z punktu A i przechodząca przez punkt S, który jest równo odległy od ramion tego kąta, jest jego dwusieczną;
- Kąt ASD ma [tex]180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}[/tex]
Obliczam długość odcinka AD:
[tex]a = 2y + 2x\\a - 2y = 2x\\x = \frac{a - 2y}{2}[/tex]
Korzystając z funkcji trygonometrycznej, obliczam długość odcinka SD:
[tex]\textup{tg} 30 ^{\circ} = \frac{\sqrt{3} }{3} = \frac{y}{x} = \frac{y}{\frac{a - 2y}{2} } = \frac{2y}{a - 2y}\\6y = a\sqrt{3} - 2\sqrt{3} y\\6y + 2\sqrt{3}y = y(6 + 2\sqrt{3}) = a\sqrt{3}\\y = \frac{a\sqrt{3} }{6 + 2\sqrt{3} } \cdot \frac{6 - 2\sqrt{3} }{6 - 2\sqrt{3}} = \frac{6a\sqrt{3} - 6a }{36 - 12} = \frac{6(a\sqrt{3} - a) }{6(6 - 2)} = \frac{a\sqrt{3} - a}{4}[/tex]
Obliczam pole jednego koła:
[tex]P_k = \pi y^2 = \pi \left( \frac{a\sqrt{3} - a }{4} \right) ^2 = \pi \frac{3a^2 - 2a^2\sqrt{3} + a^2 }{16}[/tex]
Obliczam łączne pole obu kół:
[tex]2 P_k = 2\pi \frac{3a^2 - 2a^2\sqrt{3} + a^2 }{16} = \pi \frac{3a^2 - 2a^2\sqrt{3} + a^2}{8}[/tex]
Wiedząc, że [tex]P_t = \frac{a^2\sqrt{3} }{4}[/tex] obliczam stosunek [tex]\frac{2P_k}{P_t}[/tex] :
[tex]\frac{2P_k}{P_t} = \frac{\frac{\pi(3a^2 - 2a^2\sqrt{3}+a^2) }{8} }{\frac{a^2\sqrt{3} }{4} } = \frac{\pi(3a^2 - 2a^2\sqrt{3}+a^2) }{8} \cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3} } = \frac{\pi a^2(3 - 2\sqrt{3} + 1 )}{2a^2\sqrt{3} } = \frac{\pi(3 - 2\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{3} } \cdot \frac{2\sqrt{3} }{2\sqrt{3} } = \frac{2\pi \sqrt{3} (3 - 2\sqrt{3} + 1)}{12} = \frac{3 \pi \sqrt{3} - 6 \pi + \pi \sqrt{3} }{6} \approx 0,49[/tex]
Odpowiedź:
Suma pól kół stanowi [tex]\frac{3 \pi \sqrt{3} - 6 \pi + \pi \sqrt{3} }{6}[/tex] trójkąta.
