Proszę o rozwiązanie zadania:

O funkcji kwadratowej wiadomo, że największą wartość 3 przyjmuje dla argumentu
równego -6. Ponadto jednym z miejsc zerowych jest liczba -4. Wyznacz wzór tej
funkcji w postaci ogólnej i iloczynowej.

Na podstawie danych można wysnuć wniosek, że parabola ma wierzchołek w punkcie W=(-6,3). Prosta x= -6 jest osią symetrii paraboli. Jednym miejscem zerowym jest x=-4, to drugim będzie x=-8.

Napiszę postać kanoniczną ; y= a(x-p)² +q

Answer Link

MRLEQON MRLEQON · Answer 2

Odpowiedź:

Postać ogólna:

[tex]f(x) =-\frac{3}{4}x^{2} - 9x -24[/tex]

Postać iloczynowa:

[tex]f(x) = -\frac{3}{4}(x+4)(x+8)[/tex]

Szczegółowe rozwiązanie:

[tex]f(x) = ax^{2} + bx + c[/tex]

Jeśli funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość to punktem osiągającym największą wartość jest jej wierzchołek. Współrzędne wierzchołka:

[tex]W = (p, q) = (-6, 3)[/tex]

[tex]f(x) = a(x-p)^{2}+q = a(x+6)^{2} + 3\\[/tex]

Wiemy również, że jednym z miejsc zerowych jest:

[tex]x = -4[/tex]

[tex]0 = f(-4) = a(-4+6)^{2} + 3[/tex]

[tex]4a + 3 = 0[/tex]

[tex]a = -\frac{3}{4}[/tex]

Postać kanoniczna:

[tex]f(x) = -\frac{3}{4}(x+6)^{2}+3[/tex]

Postać ogólna:

[tex]f(x) = -\frac{3}{4}(x+6)^{2}+3 = -\frac{3}{4}x^{2} - 9x -27 + 3 = -\frac{3}{4}x^{2} - 9x -24[/tex]

Postać iloczynowa:

Znamy jedno miejsce zerowe (x₁ = -4) oraz współrzędne wierzchołka (-6, 3)

Współrzędna x wierzchołka jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych

[tex]\frac{x_1 + x_2}{2} = p[/tex]

[tex]x_2 = 2p - x_1 = -12 +4 = -8[/tex]

[tex]f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = -\frac{3}{4}(x+4)(x+8)[/tex]