[tex]\mathbf{Lemat} \ \mathbf{1}[/tex].
[tex]$\frac{\cos x -1}{x^2} \:\xrightarrow[]{x \rightarrow 0}- \frac{1}{2}$[/tex]
Dowód. Wystarczy zauważyć, że
[tex]$\cos x-1=-2\sin^2\left( \frac{x}{2} \right)$[/tex]
to wynika ze wzory na podwojenie kąta dla cosinusa. Zatem
[tex]$\frac{\cos x -1}{x^2} =\frac{-2\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) }{x^2}= -2\left(\frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2} } \right)^2\cdot \frac{1}{4} $[/tex]
no i mamy to co tzreba bo [tex]\sin t/t \to 1[/tex].
[tex]\mathbf{Lemat} \ \mathbf{2}[/tex]
[tex]$\frac{1}{x^\ell} \left( e^x-\sum_{k=0}^{\ell-1}\frac{x^k}{k!} \right) \:\xrightarrow[]{x \rightarrow 0} \frac{1}{\ell !}$[/tex]
Dowód. Zauważmy, że
[tex]$\frac{1}{x^\ell} \left( e^x-\sum_{k=0}^{\ell-1}\frac{x^k}{k!} \right)=\frac{1}{x^\ell} \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^{\ell-1}\frac{x^k}{k!} \right)=$[/tex]
[tex]$\frac{1}{x^\ell} \sum_{k=\ell}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=\ell}^{\infty}\frac{x^{k-\ell}}{k!}=\frac{1}{\ell!} \sum_{k=\ell}^{\infty}\frac{x^{k-\ell}}{(k-\ell)!}=\frac{1}{\ell!} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^x}{\ell!}$[/tex]
Zatem mamy tezę.
[tex]\mathbf{Wniosek}[/tex]
[tex]$\frac{e^x-1-x}{\cos x -1 } = \frac{ \frac{e^x-1-x}{x^2} }{ \frac{\cos x -1}{x^2} }\to \frac{ \frac{1}{2!} }{- \frac{1}{2} } =-1 $[/tex]
[tex]\mathbf{Inaczej}[/tex]
Z rozwinięcia Taylora piszemy:
[tex]$\frac{e^x-x-1}{\cos x-1} =\frac{\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}+... }{-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+...} $[/tex]
widać, że (choć nie jest to formalne) ułamek ten przypomina [tex]$\frac{1/2}{-1/2}$[/tex] w okolicy zera.
[tex]\mathbf{Jeszcze} \ \mathbf{inaczej}[/tex]
Od razu piszemy rozwinięcie Taylora:
[tex]$\frac{e^x-x-1}{\cos x-1} =-1-\frac{x}{3}-\frac{x^2}{6}-\frac{2 x^3}{45}-\frac{x^4}{72}-\frac{x^5}{315}-\frac{x^6}{1260}-\frac{37 x^7}{226800}-...$[/tex]
widać, że (choć nie jest to formalne) dominującym składnikiem jest [tex]-1[/tex] w okolicy zera.
[tex]\mathbf{Jeszcz} \ \mathbf{inaczej}[/tex]
Ale tym razem już bardzo nieformalnie... zamiast stosować aproksymację rozwinięciem Taylora można zastosować aproksymację Padégo:
[tex]$\frac{e^x-x-1}{\cos x-1}=\frac{-\frac{256169 x^4}{242076240}-\frac{6157 x^3}{2161395}-\frac{31225 x^2}{576372}-\frac{21287 x}{288186}-1}{-\frac{97751 x^4}{242076240}+\frac{991 x^3}{96062}-\frac{14987 x^2}{576372}-\frac{24925 x}{96062}+1}$[/tex]
stąd też widać, że wyrażanie w okolicy zera jest bliskie [tex]-1[/tex].
