Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=e^{x-3x^3}[/tex]
D=R
[tex]f'(x)=(1-9x^2)*e^{x-3x^3}[/tex]
f'(x)>0⇔
[tex](1-9x^2)e^{x-3x^3}>0\\(1-3x)(1+3x)e^{x-3x^3}>0\\[/tex]
[tex]x_1=\frac{1}{3}[/tex] , [tex]x_2=-\frac{1}{3}[/tex] , ta część jest dodatnia dla każdego x
a<0 i y>0 więc funkcja jest rosnąca w przedziale [tex](-\frac{1}{3}, \frac{1}{3} )[/tex]
f'(x)<0⇔
[tex](1-9x^2)e^{x-3x^3}<0\\(1-3x)(1+3x)e^{x-3x^3}<0\\[/tex]
[tex]x_1=\frac{1}{3}[/tex] , [tex]x_2=-\frac{1}{3}[/tex] , ta część jest dodatnia dla każdego x
a<0 i y<0 więc funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów
(-∞, [tex]-\frac{1}{3}[/tex]), ([tex]\frac{1}{3}[/tex] , +∞)
f'(x)=0 ⇔
[tex](1-9x^2)e^{x-3x^3}=0\\(1-3x)(1+3x)e^{x-3x^3}=0\\[/tex]
[tex]x_1=\frac{1}{3}[/tex] [tex]x_2=-\frac{1}{3}[/tex] j.w.
- \ min / +
----------,-----------------,----------->
[tex]-\frac{1}{3}[/tex] [tex]\frac{1}{3}[/tex]
+/ max\ -
widać, że:
minimum f([tex]-\frac{1}{3}[/tex])=[tex]e^{-\frac{1}{3}-3*(-\frac{1}{3})^3}=e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e} }[/tex]
maksimum f([tex]\frac{1}{3}[/tex])= [tex]e^{\frac{1}{3}-3*(\frac{1}{3})^3}=e^{\frac{1}{9}}=\sqrt[9]{e}[/tex]
